La demostración de la existencia de Dios según Kurt Gödel
Es bien sabido que el lógico matemático Kurt Gödel, amigo de Einstein, se convirtió en uno de los matemáticos más importantes de la historia con su teorema de la incompletitud.
Algo menos conocido es su llamado «Teorema de Dios», en el que demuestra que es posible reunir todas las cualidades positivas en un mismo sistema, y no sólo eso, sino que es necesario que este sistema exista. Dios es el depositario por definición de todas las cualidades positivas, de modo que el teorema demuestra, en el fondo, la existencia de Dios. O, al menos, que la existencia de Dios es lógica.
He aquí su demostración, explicada para «profanos». Quien tenga paciencia para leer y entender, que lo haga.
Primera parte de la demostración:
Establece qué son las propiedades positivas y cómo se comportan. Garantiza la posibilidad de que todas las propiedades positivas se agrupen en un mismo sistema.
Esta parte es muy importante, porque consigue poner en lenguaje formal la posibilidad de un sistema que encierre todas las cualidades positivas sin entrar en contradicciones. Aquí se establece un teorema, y cualquier afirmación que se niegue posteriormente dentro de la demostración irá contra este teorema (o alguna de sus premisas); pero un teorema, por su propia definición, no puede ser contradicho dentro del sistema donde se enuncia. Así que hay que entenderla bien para comprender todo lo demás.
Las dos primeras premisas (1 y 2), son axiomas; es decir, verdades que, a poco que se piense sobre ellas, resultan obvias (por tanto, no necesitan demostración).
1.- Primera premisa (Axioma 1):
Tenemos que toda propiedad implicada por una propiedad positiva, también es positiva [esta premisa impide la posibilidad de una contradicción lógica].
→ Ejemplo analógico: Como la propiedad positiva «ser cuadrado» implica «no ser redondo», pues «no ser redondo» es una propiedad positiva.
○ Supuesta crítica: negar el axioma. Esto es imposible sin romper el universo lógico coherente de Gödel. Si se niega el axioma, se niega la posibilidad de demostrar cualquier teorema bajo normas lógicas, no sólo lo que Gödel pretende demostrar con su razonamiento.
Cuestión: conceptualmente (no en la escritura de Gödel) las propiedades pueden ser no sólo rasgos, sino funciones generadoras de rasgos. Pensar en «propiedad» como «función generadora de rasgos» constituye el paso a la lógica de segundo orden. En este marco, «propiedad positiva» es, en la lógica matemática de Gödel, una «función». Gödel la introduce así: P(φ), es decir: «P es la función que, al aplicársela a cualquier objeto φ, lo devuelve positivo». Ahora bien, si la función «propiedad positiva» aplicada a cualquier φ no implicara que este φ se volviera positivo, entonces la función perdería su propia identidad: ¿cómo podría ser P(φ) la «función "propiedad positiva"», si al aplicársela a cualquier objeto φ, no lo devuelve positivo? Luego, hay una contradicción lógica entre el hecho de que P(φ) sea la función que devuelva todo objeto positivo y que, a la vez, no lo sea.
Más textualmente: si alguien niega el Axioma 1, está afirmando que existe una propiedad ψ que se sigue de una propiedad positiva φ, pero que no es positiva. Y con eso lo que se destruye no es el teorema de Gödel, sino la posibilidad misma de definir un conjunto coherente de propiedades positivas. Porque entonces el conjunto P dejaría de ser cerrado bajo implicación, lo que conlleva que en su interior pueda haber contradicciones. Y un conjunto de propiedades contradictorio no puede ser «positivo» en ningún sentido lógico. Es decir: negar el Axioma 1 es negar la posibilidad de un sistema coherente de positividad. Pero si no puede haber positividad coherente, tampoco hay forma de definir a «Dios» como el conjunto de todas las propiedades positivas (la Definición 1, que veremos después, se vuelve vacía). Y si no hay manera de acordar qué es lo que vamos a definir, estamos negando la existencia de cualquier sistema lógico.
En resumen: quien niega el Axioma 1 no refuta a Gödel, sino que abandona el terreno de la lógica modal coherente en el que Gödel está trabajando; pero su negación también será ilógica porque no tiene sentido para expresarse fuera del terreno propuesto por Gödel.
○ Gödel expresa así el Axioma 1: P(φ) ∧ ∀x [φ(x) → ψ(x)] → P(ψ), [si una propiedad φ es positiva y φ implica a ψ, entonces ψ también es positiva], lo cual muestra más claramente este sentido: de la función «propiedad positiva» se implica una propiedad positiva. De este modo, P es una función de predicados (P: Propiedades → {verdadero, falso}). P actúa como un operador evaluativo sobre el dominio de las propiedades, asignando a cada una el valor «positivo» o «no positivo» según su coherencia con el resto del sistema, no es una mera etiqueta de cualidad moral o metafísica. Lo cual se puede formular como: si una propiedad pertenece al rango de la función positiva, entonces cualquier propiedad que se derive lógicamente de ella también pertenece a ese rango. Como ejemplo conceptual (no literal), esto se puede formular como P : Φ → Φ+. Ese «operador» P actúa también en función de selección o proyección: de entre todas las propiedades posibles Φ, selecciona aquellas que pertenecen al subconjunto coherente de las positivas Φ⁺ donde la función P proyecta el dominio de propiedades sobre el subconjunto de las positivas, cerrado bajo la implicación. De este modo, Gödel no sólo dice que una propiedad positiva implica otra positiva, sino que el operador «positividad» mismo funciona como una proyección cerrada bajo la implicación lógica. La positividad actúa como un filtro o función clausurante dentro del conjunto total de propiedades: todo lo que sale de una propiedad positiva (por implicación lógica) sigue siendo positivo. La positividad no es una «etiqueta» asignada externamente a las propiedades, sino una función estructural del propio sistema lógico. Eso significa que el Axioma 1 no es un juicio moral ni un postulado metafísico, sino un principio de estabilidad del operador P. Por tanto, negar que la función «propiedad positiva» implique como resultado una propiedad positiva, es negar la propia identidad o naturaleza de la función (operador P). Si la función «propiedad positiva» no proyectara positividad, ¿cómo podría ser la función «propiedad positiva»? Porque entonces estaríamos ante un operador que no cumple su propia definición funcional. Sería como definir una función de identidad que, al aplicarse, dejara de devolver lo que se le da; o un operador de verdad que devolviera falsedad. Sería autocontradictorio. Es negar que todo ser sea él mismo, lo cual es una contradicción lógica que bloquea todo razonamiento. El operador P va a dotar de clausura al mundo lógico de la demostración. Esta clausura será una fuerza que obligue a que todo ese mundo lógico se sujete estrictamente a lo definido por el Teorema 1, y fuera de ella no habrá lógica posible.
En notación funcional, podríamos expresar el significado de este axioma así: P:Φ→{0,1},tal que (P(φ)=1 y φ⇒ψ)⇒P(ψ)=1. Esto significa que P es una función clausurada bajo la implicación lógica. Y una función clausurada bajo implicación no puede dejar de proyectar positividad, porque eso equivaldría a quebrar su definición operacional. Por tanto, negar el axioma destruye la función misma. Si negáramos el Axioma 1, estaríamos afirmando que existe al menos una propiedad φ tal que P(φ)∧(φ⇒ψ)∧¬P(ψ). Pero eso significa que hay un ψ que se sigue lógicamente de una propiedad positiva φ, y que, aun así, no es positivo. Entonces, o bien la función P no es coherente (porque aplica criterios arbitrarios), o bien la implicación lógica deja de ser una relación de consecuencia, y en ese caso, el sistema se hunde entero. En términos modales, esto equivaldría a afirmar que el operador P no preserva la verdad necesaria, es decir, que la positividad no es estable bajo consecuencia lógica. Y eso destruye la posibilidad misma de definir un sistema modal coherente . En cualquiera de los dos casos, el resultado es la inconsistencia del sistema.
Gödel no afirma la existencia empírica de propiedades positivas; sino que, si el concepto de positividad es lógicamente coherente, entonces es posible (en sentido modal) que exista un ser que posea todas ellas.
Por tanto, quien niega los axiomas no está refutando el razonamiento, sino negando la posibilidad de pensar la positividad como categoría lógica universal. Lo cual es una posición filosófica, no una objeción formal.
Gödel, en cambio, construye un sistema puro: si aceptas sus axiomas, el resto se deduce con la necesidad de una demostración matemática.
○ Niéguese
que en lógica existan «categorías positivas» y «categorías
negativas». Afirmando que todo son categorías, sin ser positivas ni
negativas, y simplemente se niegan o afirman sin negarlas. Entonces
estamos negando la
existencia del operador P (que, para decirlo intuitivamente, «vuelve positivo todo lo que toca»),
que es el corazón de toda la construcción de Gödel.
Pero al hacerlo se entra en contradicción, porque en el propio acto
de su negación ya está diferenciando categorías. Negar que existan
categorías positivas y negativas es
afirmar su existencia
en el mismo acto de negarlas. La lógica no puede desprenderse de
esas categorías, porque son las formas mismas de su funcionamiento:
toda afirmación es positiva, toda negación es negativa, y no hay
discurso lógico que no consista en una combinación de ambas. Si
denotamos con C⁺
el conjunto de categorías positivas y con C⁻
el de categorías negativas, decir «no existen C⁺ ni C⁻»
equivale a afirmar: ¬∃C⁺ ∧ ¬∃C⁻. Pero
esta negación usa ya el operador ¬ («no»), que es una función
negativa, y por
tanto presupone la existencia de una categoría de negación. Esto
genera una paradoja autorreferente: el acto de negar las categorías
positivas/negativas ya introduce
la categoría negativa
como válida dentro del sistema.
Negar el Axioma 1 no significa sólo negar el sistema lógico de Gödel, sino rechazar la propia estructura de lo que hace que todo sistema lógico sea coherente.
2.- Segunda premisa (Axioma 2):
Tenemos que toda propiedad negativa es la negación de una propiedad positiva [esta premisa da carta de naturaleza a toda propiedad compatible con las demás para formar parte del sistema].
→ Ejemplo: «Ser redondo» es una propiedad negativa, porque es la negación de «no ser redondo» (que arriba hemos dicho que era positiva).
○ A pesar de su claridad, también se ha tratado de negar esta premisa. En las anotaciones al Axioma 1 hay argumentación suficiente para demostrar que es igualmente irrefutable. El propio acto de negarlo en sí ya supone admitir la regla del juego que el propio axioma marca.
Tras los dos axiomas previos, viene la tercera premisa, que es el teorema (Teorema 1), es decir, la derivación del razonamiento previo, implícito en la conjunción de los axiomas que hemos visto:
3.- Tercera premisa (Teorema 1):
Por tanto, toda propiedad positiva puede ser admitida en el sistema sin que este se vuelva incoherente [esto significa también que no podemos expulsar de un sistema lógico coherente ninguna propiedad positiva].
→ Ejemplo: cuando las propiedades positivas son del tipo "ser cuadrado", el funcionamiento interno del propio sistema (coherencia lógica) obliga a que las otras sean del tipo "no ser redondo". Si las propiedades positivas son del tipo "ser redondo", la coherencia lógica le obliga a que las demás positivas sean del tipo "no ser cuadrado".
○ Evidentemente, los ejemplos que he utilizado de "ser redondo", "ser cuadrado", "no ser redondo", etc; son demasiado empíricos (concretos), mientras que la lógica formal se refiere a atributos lógicos. Pierdo precisión a cambio de ganar comprensión, aunque esta sea más superficial. Es como mostrarte un objeto tridimensional en un dibujo sobre un papel plano. Las propiedades positivas en Gödel no son empíricas ni morales, sino predicados de tipo lógico de segundo orden (atributos de propiedades).
○ Es destacable que este teorema, por su propia naturaleza excluye las cualidades negativas del conjunto en un sistema total de cualidades. Establece que el «universo de lo positivo» es autosuficiente y autoorganizado: no necesita referirse a las propiedades negativas para definirse, porque su propia coherencia interna las expulsa naturalmente. No es que las niegue arbitrariamente: las deja sin espacio lógico posible. Si intentaran introducirse, el sistema colapsaría por incoherencia… y esto es precisamente lo que el Teorema 1, con sólo dos axiomas y una conclusión, demuestra que no ocurre.
○ Es curioso que Gödel haya cifrado este teorema como si no se derivase de las dos premisas anteriores. Esto ha hecho que se lo evaluara como si hubiera sido introducido aquí arbitrariamente por el lógico, y es el origen de muchas discusiones sobre su aceptación o negación. Nadie parece darse cuenta, pero realmente es así: es la consecuencia lógica de los dos axiomas anteriores, tan simples, como una broma para el lector, diciéndole: «¿Quieres que Dios se te muestre? ¡Lo tienes delante y no lo ves!»
Hasta aquí, las tres primeras premisas de la demostración, que establecen un teorema. Con este teorema, Gödel deja claro:
Del axioma 1 (las propiedades positivas implican sólo otras propiedades positivas) se infiere la clausura del conjunto de las positivas bajo la implicación.
Del axioma 2 (las negativas son negaciones de positivas) se deriva que ninguna positiva puede implicar una negativa sin autocontradicción.
Conclusión (teorema): el conjunto de propiedades positivas es internamente consistente, pues abarca todas las posibles que son lógicamente compatibles entre sí; esto es, todas las que no implican ninguna negación o contradicción interna.
Segunda parte de la demostración:
Define a «Dios» como el portador de todas las propiedades positivas. Es la aplicación de los axiomas anteriores: sin antes definir qué es «Dios», no se podría hablar de su posible existencia.
La cuarta premisa (premisa 4) es una definición. Una definición es una proposición dedicada a explicar con claridad y exactitud cualquier concepto, ya sea material o inmaterial.
En esta definición, Gödel nos presenta al Dios cuya existencia pretende demostrar; es decir: qué es lo que matemáticamente entiende él por Dios, de la manera más sencilla posible, para que pueda ser formalizado y demostrada su existencia. Es la aplicación de los axiomas anteriores: sin antes definir qué es «Dios», no se podría hablar de su posible existencia.
La definición (Definición 1), la escribe Gödel así: G(x)⟺∀φ[P(φ)→φ(x)]. E implica lo siguiente:
4.- Cuarta premisa (Definición 1):
Un objeto es divino si, y sólo si posee todas las propiedades positivas.
○ En esta definición debemos tener en cuenta que, a pesar de que Dios acumula todas las propiedades positivas, no se pueden dar contradicciones entre ellas, ni haber cualidades negativas (ya que ello entraría en conflicto con sus negativas, es decir, las positivas), lo cual es posible gracias a la demostración del Teorema 1 (premisa 3), debida esta al resultado lógico de las premisas 1 y 2, ambas axiomas.
○ Es importante recordar que hasta aquí, Gödel todavía no ha demostrado la necesidad ni la existencia de Dios.
○ Lo que sí ha demostrado, mediante el Teorema 1, es la posibilidad de que un ser acumule en sí mismo todas las facultades positivas, para después definir a Dios como alguien que las reúne todas.
○ Las tres primeras premisas eran necesarias, no para demostrar la cuarta, sino para darle coherencia, y luego nos presenta la idea de Dios, pero no afirma aún que Dios exista.
Tercera parte de la demostración:
Axiomas 3–5, Definición 2 (esencia) y los teoremas 2–4. Cualidades del Ser Divino.
Estas premisas vienen después, porque sólo una vez definido el tipo de ser que es el divino (G(x)) tiene sentido preguntar si su existencia es necesaria.
La quinta premisa es otro axioma (axioma 3): G(x). Se enuncia así:
5.- Quinta premisa (Axioma 3):
La cualidad de ser divino es positiva.
○ Es un axioma, porque negar esto sería como afirmar que la reunión de todas las cualidades positivas es una cualidad negativa, lo cual sería contradictorio.
○ En otras palabras: expresa que la reunión de todas las propiedades positivas no puede ser, en sí misma, una propiedad negativa sin contradicción. Si lo fuera, el sistema colapsaría, pues negaría el principio de clausura del Teorema 1.
6.- Sexta premisa (Teorema 2):
Es posible que exista un ser divino.
○ Este teorema es consecuencia de todo lo anterior: Si el conjunto de propiedades positivas es lógicamente consistente (Teorema 1), y «ser Dios» no es más que poseer todas ellas (Definición 1), entonces el ser divino es posible (Teorema 2).
○ Dado que el conjunto de propiedades positivas es posible y consistente, y que el ser divino es definido precisamente como la reunión de todas ellas, la posibilidad del conjunto implica la posibilidad del ser que las posee.
Vamos ahora con la séptima premisa, que es otra definición. En ella se establece el concepto de esencia, y se enuncia así (o algo equivalente):
7.- Séptima premisa (Definición 2):
Una propiedad ψ es la esencia de un individuo x si, y sólo si x tiene la propiedad ψ y ψ implica necesariamente todas las propiedades que tiene x.
○ Es decir, la esencia de un individuo es aquello de un individuo que lo hace ser él mismo.
○ En modo más reducido: Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima. O, más aún: la esencia de un individuo es aquella propiedad que necesariamente implica todas las propiedades de tal individuo. O «la propiedad que contiene todas las propiedades de un individuo, se llama esencia».
○ La definición se formula así: Ess(φ,x)↔∀ψ[ψ(x)→□∀y(φ(y)→ψ(y))]. Esta definición se introduce por economía simbólica, para condensar y abreviar una parte del discurso que, de otro modo, requeriría una serie de premisas y pasos mucho más largos y pesados, al tener que repetirse entero. Por ejemplo: de este modo, más adelante, cada vez que tenga necesidad de expresar el complejo □∀y(φ(y)→ψ(y)), escribirá simplemente «Ess x». Es como ahorrarse escribir: «aquello que hace que el individuo sea él mismo» escribiendo en su lugar «esencia». Como vemos, la esencia no es un rasgo, sino una función generadora de rasgos.
○ La secuencia encerrada en el concepto de esencia le sirve a Gödel de nexo entre el Teorema 1 (posibilidad del Ser perfecto) con el Teorema 2 (su necesidad). Porque Gödel necesita expresar la idea de que si un ser posible posee todas las propiedades positivas, entonces la propiedad de poseerlas todas es su esencia, y todo lo que ese ser tiene se sigue necesariamente de esa esencia.
○ Sin esa noción de esencia, no habría forma de pasar lógicamente de la posibilidad de Dios a su necesidad: la definición formaliza el vínculo ontológico entre «tener todas las propiedades positivas» y «existir necesariamente».
8.- Octava premisa (Axioma 4):
Si una propiedad es positiva, entonces la propiedad de tener esa propiedad es positiva.
→ Ejemplo: Si la propiedad «ser cuadrado» es positiva, entonces la propiedad de tener la propiedad «ser cuadrado» es positiva. / Si la propiedad de «ser cuadrado» es positiva, entonces es necesario que la propiedad «ser cuadrado» sea positiva.
○ Si
la propiedad de tener una propiedad positiva fuera negativa, entonces
tendríamos una propiedad negativa conteniendo una propiedad
positiva; es decir, una propiedad negativa implicaría una propiedad
positiva. Pero esto supondría que no sólo las cualidades positivas
tendrían la capacidad de implicar cualidades positivas, sino que
también las cualidades negativas podrían hacerlo.
Sin embargo,
las cualidades negativas no tienen cabida en el sistema cerrado y
autosuficiente definido en el Teorema 1, porque la introducción de
una propiedad negativa dentro de su dominio destruiría la coherencia
lógica del sistema. Un teorema no puede ser contradicho dentro del
mismo marco que lo demuestra sin romper la lógica sobre la que se
sustenta. Las propiedades negativas no pueden generar propiedades
positivas por la misma razón que la falsedad no puede generar verdad
dentro de un sistema lógico consistente: hacerlo violaría el
principio de no contradicción que sostiene su estructura. Por tanto,
como las cualidades negativas no tienen cabida en el sistema definido
por el Teorema 1, no puede haber cualidades negativas dentro de él
que generen cualidades positivas sin romper el mundo lógico creado
por Gödel al definir el operador P.
○ La necesidad de este axioma no sólo es coherente, sino inevitable. Su demostración como tal se deriva del Teorema 1, el cual implica que la positividad depende sólo de la consistencia del sistema, no de las diferencias lógicas entre "mundos" posibles. Cualquier sistema estaría condenado a ser incoherente si no aceptara la necesidad de la positividad tal y como la establece Gödel en dicho Teorema 1. Un mundo que no la acepte pasaría a dejar de ser «posible» en sentido lógico. Si la positividad es coherente (haciendo posible al Ser máximo), entonces la positividad no puede dejar de ser positiva en ningún mundo posible.
○ El Teorema 1 muestra que la positividad es un criterio de consistencia lógica; el Axioma 4 eleva esa consistencia al rango de necesidad modal. Si se negara el Axioma 4, se admitirían mundos posibles donde la positividad no fuera consistente, lo cual contradice el Teorema 1. Por tanto, el Axioma 4 no introduce contenido nuevo, sino que formaliza en modo necesario lo que el Teorema 1 ya establecía en modo posible.
○ Suele entenderse como: si una propiedad es positiva, entonces es necesario ser una propiedad positiva. Pero esta lectura es menos evidente (¿por qué una propiedad positiva tiene que serlo por necesidad?). Por tanto, prefiero expresarla del modo que lo hago.
○ Además, la lectura que yo hago se percibe claramente como autológica (es decir, tiene lógica por sí misma), y así resulta más visible su carácter de axioma: no todo el mundo puede captar fácilmente que sea un axioma la escritura atribuida a Gödel: P(φ)→□P(φ).
○ [Aclaración técnica como complemento al punto anterior: mi lectura puede interpretarse así: P(φ)→P(P(φ)), mientras que en la formulación de Gödel, el axioma se expresa en términos de necesidad modal (P(φ)→□P(φ)), pero ambas lecturas son equivalentes si la positividad se entiende como invariante bajo toda interpretación coherente del sistema, lo cual en esta demostración es totalmente válido, ya que se sigue de la fuerza del Teorema 1].
9.- Novena premisa (Axioma 5):
La existencia necesaria es una propiedad positiva.
○ Ya hemos visto arriba cómo el Teorema 1 establece que la positividad depende sólo de la consistencia del sistema, no de diferencias entre mundos (sistemas lógicos diferentes) posibles. En el sistema de Gödel, al ser lógico, no metafísico, la positividad no es un atributo moral, sino una condición estructural que garantiza la coherencia modal del sistema. Por otro lado, por el mismo Teorema 1, la consistencia del sistema (su no-contradicción interna) depende de que las propiedades positivas estén cerradas bajo implicación. Ellas son necesarias para que el sistema no decaiga. De ahí resulta un bucle de autosuficiencia lógica: si el sistema es consistente, las propiedades positivas no pueden implicar nada negativo; luego, la clausura de P (fuerza que obliga a que el mundo lógico de la demostración se sujete estrictamente a lo definido por el Teorema 1) se mantiene. Si la clausura de P se mantiene, entonces el sistema conserva su consistencia. Es decir, la positividad y la consistencia se sostienen mutuamente. Además de esta dependencia mutua entre la consistencia del sistema y la positividad que lo define, esa relación no es contingente ni circular en el sentido vicioso, sino reflexiva: el sistema se autovalida mediante la clausura de su propio operador lógico de positividad (es decir, P).
Por tanto, la existencia necesaria, como propiedad que expresa la invariabilidad de esa consistencia a través de todos los mundos posibles, no puede dejar de ser positiva sin quebrar el sistema. Por eso, en rigor, el origen de P(E(x)) (que es la formulación original de este axioma) debería buscarse aquí entre las consecuencias del Teorema 1, no entenderlo como un axioma arbitrario. Dicho con mayor precisión: el llamado «Axioma 5» no introduce información nueva al sistema, sino que explicita, en forma de postulado, una consecuencia necesaria ya implícita en la clausura de la positividad demostrada en el Teorema 1.
○ La abreviación común de este axioma como P(E), lo desvirtúa. De este modo, parece un postulado primitivo, algo metafísico introducido arbitrariamente por Gödel (la positividad de la existencia necesaria), quedándose sin justificación en el discurso lógico, cuando, en realidad, este axioma es una explicitación postulatoria de una consecuencia ya implícita en la clausura de la positividad demostrada en el Teorema 1. Entendido en su forma desarrollada, se comprueba que lo que hace Gödel es aplicar el Teorema 1 al caso particular de la propiedad «existir necesariamente», mostrando que E(x) es positiva porque se sigue lógicamente de otras propiedades positivas (la esencia, la coherencia modal, la clausura del sistema). Ocultar esta información reduciendo la notación convierte un corolario natural del Teorema 1 en un axioma añadido sin justificación, con lo cual el sistema parece más «dogmático» que lógico, y se pierde el sentido de inevitabilidad: que el sistema colapsaría si no incluyera la positividad de la existencia necesaria. Ya hemos visto antes que el Teorema 1 implica que la positividad depende sólo de la consistencia del sistema, no de diferencias entre mundos posibles.
○ El axioma se despliega de este modo: P(E(x)), donde E(x) = ∀φ [Ess(φ,x) → □∃y φ(y)]. En lo que se aprecia que E(x) no es una simple etiqueta «existencia necesaria», sino una propiedad de segundo orden: «tener la propiedad de que toda esencia de x implica la existencia necesaria de algo que tiene esa esencia». Por tanto, lo que Gödel afirma es que esa propiedad, el «ser necesariamente existente», es positiva. Cuando alguien lo reduce a P(E), lo que hace es contraer toda esa definición estructurada en una notación atómica que oculta la dependencia jerárquica entre: la definición de esencia (Definición. 2), el concepto de existencia necesaria (Definición. 3, que se construye sobre la de esencia), y la aplicación del operador de positividad P sobre ese compuesto.
Puede decirse que Gödel construye una auténtica máquina de movimiento perpetuo lógico entre la positividad y la consistencia. La clausura del conjunto de las propiedades positivas bajo la implicación garantiza la coherencia del sistema; y, a la inversa, la coherencia del sistema asegura la conservación de esa clausura. Ninguno de los dos polos necesita apoyo externo, sino el uno al otro: la positividad sostiene a la consistencia y la consistencia a la positividad, en un bucle de retroalimentación perfecta. No hay fricción ni pérdida lógica posible. En el ámbito físico, semejante equilibrio sería imposible; pero en el ámbito formal es precisamente la definición de estabilidad. Por eso puede decirse que Gödel no postula una «metafísica del ser», sino que construye un sistema autosuficiente de coherencia, una máquina conceptual que se mueve perpetuamente en virtud de su propia estructura.
10.- Décima premisa (Teorema 3):
Si es posible que exista un ser que posea todas las propiedades positivas [ser divino, según la Definición 1], entonces existe necesariamente.
→ Ejemplo (puramente formal): si la positividad se mantiene como valor invariante en todos los mundos posibles [Axioma 4: (□P)], y «ser Dios» significa poseer todas las propiedades positivas [Definición 1], entonces «ser Dios» se mantiene igualmente invariante en todos los mundos posibles (□∃x G(x)). Lo que en el lenguaje ordinario equivaldría a decir: si es posible un ser que posea todas las perfecciones, entonces ese ser existe necesariamente.
○ En este punto, Gödel convierte la posibilidad lógica del ser divino (demostrada en el Teorema 2) en necesidad ontológica. La estructura de su razonamiento se apoya en la clausura del operador P y en el Axioma 5, que establece la positividad de la existencia necesaria. Si la existencia necesaria es una propiedad positiva, y el ser divino posee todas las propiedades positivas, entonces necesariamente posee también la existencia necesaria. Por tanto, no sólo es posible que exista, sino que es necesario que exista.
○ Dicho de otro modo: en un sistema en el que todas las propiedades positivas son posibles y consistentes (Teorema 1), y donde la existencia necesaria pertenece a ese conjunto de propiedades positivas (Axioma 5), negar la existencia de un ser que las posea todas sería romper la clausura lógica del sistema. No puede ser posible que exista el conjunto completo de las propiedades positivas sin que exista el portador de ellas.
○ Este paso no introduce ninguna suposición nueva: es la consecuencia formal del funcionamiento del sistema. Si el conjunto P de las propiedades positivas es clausurado bajo implicación, y entre ellas se encuentra la propiedad de «existir necesariamente», entonces el sujeto que reúne todas las propiedades de P debe existir necesariamente. En caso contrario, habría una propiedad positiva, la existencia necesaria, que no se realizaría, contradiciendo su propia positividad.
○ El Teorema 3 puede entenderse, pues, como el cierre lógico de todo el sistema: la clausura del operador P, que mantenía estable la coherencia interna del sistema, se extiende ahora al plano existencial. La positividad no sólo es internamente coherente, sino que su propia coherencia exige su realización necesaria. Gödel traduce así la consistencia modal del sistema en necesidad ontológica: el ser divino no sólo puede existir, sino que no puede no existir.
○ La necesidad en Gödel no es un atributo arbitrario que se le “añade” a Dios; proviene de la estructura misma del sistema lógico. Paso a paso: (1) cierre y coherencia del sistema: El Teorema 1 garantiza que el conjunto de todas las propiedades positivas es internamente consistente y cerrado bajo implicación. Es decir, no se puede derivar nada negativo a partir de lo positivo; la coherencia del sistema depende de que esto se cumpla. (2) Definición de un ser divino (Definición 1): Se define como un individuo que posee todas las propiedades positivas. (3) Esencia del ser divino (Definición 2): la esencia de un individuo es la propiedad (o conjunto mínimo de propiedades) que genera necesariamente todas las demás propiedades de ese individuo. Para Dios, la esencia es justamente “poseer todas las propiedades positivas”. Salto de la posibilidad a la necesidad: (4) Si un ser puede poseer todas las propiedades positivas sin contradicción (Teorema 2: es posible que exista un ser divino), y (5) poseer todas las propiedades positivas es su esencia, entonces, en cualquier mundo posible donde ese ser exista, su esencia implica necesariamente todas sus propiedades. (6) Y como entre esas propiedades está la existencia necesaria (Axioma 5), su existencia no puede no darse sin quebrar la consistencia del sistema. En otras palabras: la necesidad proviene de la lógica interna del sistema. No se está postulando por motivos metafísicos, sino que se deduce de que el sistema sería inestable o incoherente si un ser que posee todas las propiedades positivas pudiera no existir.
○ De este modo, la demostración de Gödel no «inventa» la necesidad, sino que la extrae de la estructura misma del sistema lógico: la existencia necesaria es la forma modal de la clausura positiva.
11.- Premisa undécima (Corolario final):
Existe necesariamente un ser divino.
○ Se sigue modus ponens del Teorema 2 («es posible que exista un ser divino») y del Teorema 3 («si es posible que exista un ser que posea todas las propiedades positivas --es decir, un ser divino--, entonces existe necesariamente»).
○ Comentario estructural: este paso es casi trivial desde el punto de vista lógico, pero es crucial desde el punto de vista filosófico: Gödel demuestra que la mera posibilidad lógica del ser divino basta para que su existencia sea necesaria. No se añade ningún axioma ni se supone nada nuevo: el sistema se cierra sobre sí mismo. La conclusión es simplemente la aplicación directa de los teoremas obtenidos.
○ Antes teníamos:
Teorema 2: el sistema no contiene contradicción alguna si postulamos un ser que posea todas las propiedades positivas. Luego, tal ser puede existir.
Teorema 3: todo ser que puede poseer todas las propiedades positivas debe existir necesariamente.
Por tanto, lo que era posible se vuelve obligatorio: si no existiera necesariamente ese ser, el sistema se haría incoherente, pues contendría una propiedad positiva —la existencia necesaria— sin realización.
○ El Corolario final une los dos grandes resultados anteriores: si es posible un ser que posea todas las propiedades positivas (Teorema 2), y si tal posibilidad implica su existencia necesaria (Teorema 3), entonces ese ser existe necesariamente. Gödel no hace aquí ninguna inferencia adicional: simplemente aplica la implicación demostrada. El sistema queda completamente cerrado: la posibilidad lógica se transforma en necesidad ontológica.
○ Formalmente:
(1) ◇∃x G(x) (Teorema 2: es posible que exista un ser que posea todas las propiedades positivas).
(2) ◇∃x G(x) → □∃x G(x) (Teorema 3: si es posible, entonces existe necesariamente).
Por modus ponens entre (1) y (2):
□∃x G(x) (Existe necesariamente un ser divino).
En resumen: este teorema nos viene a decir que:
es posible unir las propiedades positivas (Teorema 2);
las propiedades positivas sólo pueden unirse si es necesario que lo hagan (Teorema 3);
no existe ninguna razón lógica para impedir su unión cuando son necesarias (una necesidad no puede ser obstaculizada sin producir contradicción lógica (porque violaría □P);
tampoco hay ninguna razón lógica para negar su necesidad (negar □P equivale a afirmar ⋄¬□P, lo cual contradice la definición de esencia y la clausura modal del sistema). Esto está alineado con el Axioma 4: P(φ) → □P(φ). ;
la negación de su necesidad obliga a negar que sea posible unirlas (contradiciendo el Teorema 2);
luego, esa unión debe ser necesaria (conclusión correcta: si la posibilidad no puede ser negada sin contradicción, y negar la necesidad implica negar la posibilidad, entonces la posibilidad implica la necesidad. Exactamente el núcleo del Teorema 3.
Si la unión de todas las propiedades positivas es posible, entonces una de esas propiedades (la existencia necesaria) obliga a que esa unión sea necesaria. Y como no hay contradicción en su posibilidad, su existencia necesaria se sigue inevitablemente.
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