La demostración de la existencia de Dios según Kurt Gödel

Es bien sabido que el lógico matemático Kurt Gödel, amigo de Einstein, se convirtió en uno de los matemáticos más importantes de la historia con su teorema de la incompletitud.

Algo menos conocido es su llamado «Teorema de Dios», en el que demuestra que es posible reunir todas las cualidades positivas en un mismo sistema, y no sólo eso, sino que es necesario que este sistema exista. Dios es el depositario por definición de todas las cualidades positivas, de modo que el teorema demuestra, en el fondo, la existencia de Dios. O, al menos, que la existencia de Dios es lógica.

Antes de abordar cualquier teorema, debemos tener en cuenta que, si está bien hecho, debe funcionar independientemente de las ideas filosóficas o metafísicas de su creador. Un teorema tiene que tener vida propia, vida científica, pero si depende para su corrección de las ideas filosóficas o metafísicas atribuidas o atribuibles al lógico que lo diseñó, no puede ser considerado como tal teorema. Pitágoras creía en la divinidad del número, pero a nadie en su sano juicio se le ocurre tratar de refutar el teorema que lleva su nombre, utilizando como argumento tal creencia pitagórica.

He aquí la demostración del «Teorema de Dios» de Gödel, explicada para «profanos». Quien tenga paciencia para leer y entender, que lo haga.

1️⃣ Introducción al marco conceptual

Como paso previo a la introducción de las dos primeras premisas, A1 y A2, conviene explicitar el marco mínimo de coherencia lógica en el que se desarrollará la argumentación.

En toda lógica suficientemente expresiva que trate con propiedades o predicados existe, al menos, un fragmento conservativo clásico bivalente, en el cual:

• la negación es complementaria (¬φ se opone estrictamente a φ),
• las propiedades positivas pueden definirse de forma consistente y sin contradicción interna.

Este fragmento constituye un núcleo mínimo de coherencia lógica, común a cualquier sistema lógico más amplio.

Toda deducción formulada exclusivamente dentro de este núcleo clásico (que presupone el principio de identidad) conserva su validez en cualquier lógica que lo extienda (paraconsistente, multivaluada, intuicionista, etc.) en la medida en que dichas lógicas no invalidan las leyes del fragmento compartido.

Puede ilustrarse esta relación mediante una analogía dimensional: en un espacio unidimensional solo existen “adelante” y “atrás”; en dos dimensiones se añaden “derecha” e “izquierda”; en tres, “arriba” y “abajo”. Sin embargo, todo lo que ocurre en una dimensión sigue siendo válido en espacios de mayor dimensión.
De modo análogo, al razonar dentro de esta dimensión lógica mínima, Gödel garantiza que las conclusiones obtenidas no dependen de peculiaridades del sistema lógico adoptado, sino que poseen validez metateórica universal.

2️⃣Primera premisa (Axioma 1)

Enunciado:

Toda propiedad implicada por una propiedad positiva también es positiva.

P(φ) ∧ ∀x [φ(x) → ψ(x)] → P(ψ),

o bien:

P(φ)∧(φ→ψ)→P(ψ)

• Funciona siempre dentro del submodelo bivalente, que existe en cualquier lógica posible.
• No depende de la lógica global: basta con el núcleo mínimo. Por tanto, A1 siempre puede cumplirse.

Explicación:

• A1 establece que toda propiedad positiva mantiene su positividad a lo largo de sus implicaciones.
• Lo más simple e intuitivo es verlo desde la autoimplicación: toda propiedad se implica a sí misma (𝜑⇒𝜑). Si una propiedad positiva pudiera implicarse a sí misma como negativa, estaríamos negando su propia identidad. Esto hace que la positividad no sea solo una característica externa, sino parte esencial de lo que la propiedad es.
• En otras palabras: la positividad es intrínseca a la identidad de la propiedad. Negar A1 equivaldría a permitir que una propiedad positiva deje de ser positiva incluso consigo misma, lo cual es ilógico y destruye la coherencia mínima del sistema.

Intuición sencilla: Una propiedad positiva no puede dejar de ser positiva cuando se aplica a sí misma; su positividad es parte de su propia identidad.

Conclusión:

• A1 no requiere justificación empírica ni abstracta: es un axioma innegable de coherencia mínima. Su validez es inmediata y necesaria para cualquier sistema lógico que quiera hablar de propiedades positivas de manera coherente.
• Este axioma asegura que las propiedades positivas son cerradas bajo implicación, evitando contradicciones lógicas.
• Ejemplo analógico: si consideramos que «ser cuadrado» es positivo y que «ser cuadrado» implica «no ser redondo», entonces «no ser redondo» también es positivo.
• Dependencia de A2: este axioma solo tiene sentido porque A2 define qué es una propiedad positiva y qué es negativa. Sin ese vocabulario coherente, A1 no puede aplicarse.
• Sobre críticas: negar A1 implicaría que existe una propiedad ψ derivada de una propiedad positiva φ que no es positiva. Esto no refuta la demostración de Gödel, sino que destruye la coherencia lógica necesaria para definir propiedades positivas.
• Consecuencia: si no hay coherencia en las propiedades positivas, tampoco se puede definir a Dios como el ser que posee todas ellas.
• Comentario adicional: toda afirmación lógica implica la categoría positiva o negativa; negar estas categorías destruye la estructura mínima de la lógica, y por eso no hay discurso lógico sin esta distinción.

Comentarios redundantes con la explicación presentada arriba (pero que pueden ayudar a la comprensión):

• El racionalista/gödeliano acepta A1 porque es una verdad lógica evidente por sí misma sobre la perfección. 

• El empirista, cuando se le presiona, no puede criticar consistentemente A1 porque, para hacerlo, debe abandonar su propio campo científico y hacer afirmaciones metafísicas infundadas sobre el «valor» de cosas como el dolor o la muerte. 

• Comentario sobre sistemas pragmáticos: incluso sistemas que no buscan coherencia estricta aceptan A1 implícitamente cuando manejan categorías positivas para producir efectos coherentes. 

• Por lo tanto, se puede concluir que no existe una postura consistente, ni empírica ni lógica, para criticar la validez o la solidez del Axioma A1 de Gödel.

3️⃣Segunda premisa (Axioma 2)

• Este axioma (A2) es estructuralmente posible en cualquier lógica gracias al submodelo bivalente.
• Incluso si no se formaliza la negación clásica en la lógica global, siempre existe un subconjunto donde φ y ¬φ son opuestos.

Enunciado:

Toda propiedad negativa es la negación de una propiedad positiva, y viceversa:

P(¬φ)↔¬P(φ)

• Define la polaridad positivo-negativo en el núcleo mínimo.
• Permite coherencia de propiedades y que el Axioma 1 tenga sentido.

Explicación:

• Este axioma define el vocabulario de propiedades positivas y negativas.
• Ejemplo analógico: si «no ser redondo» es positiva, entonces «ser redondo» es negativa.
• Universalidad: en cualquier mundo posible coherente, estas dos categorías mínimas existen; cualquier operador adicional (por ejemplo «neutro» en un sistema trivalente) queda fuera del esquema de Gödel. Pero incluso un sistema pragmático que pueda aceptar grados intermedios o valores flexibles, cuando necesita operar con positivo/negativo recurre automáticamente a este esquema mínimo si le es necesario, por lo que el sistema de Gödel está presente incluso allí como subconjunto del sistema.
• Sobre críticas: negar A2 significa permitir que una propiedad sea positiva y negativa a la vez, lo cual es contradictorio. No se puede operar en un mundo lógico así: deja de ser un mundo posible coherente.
• Relación con A1: A1 depende de que A2 haya definido previamente positivo/negativo; sin este vocabulario coherente, no se puede aplicar el cierre de implicación de A1.
• Conclusión: A2 es necesario y se cumple en todos los mundos posibles coherentes. Esto garantiza que el vocabulario de propiedades positivas/negativas tenga sentido y que A1 pueda operar correctamente.

🦉Funcionamiento de estos axiomas: Los axiomas A1 y A2 no deben entenderse como principios independientes y aislados, sino como dos aspectos complementarios de una misma exigencia de coherencia mínima en la noción de propiedad positiva.

• El Axioma 2 (A2) establece la identidad polar de las propiedades: toda propiedad negativa es la negación de una propiedad positiva, y ninguna propiedad puede ser simultáneamente positiva y negativa. Negar A2 implicaría admitir que una misma propiedad pudiera poseer y no poseer positividad al mismo tiempo, lo cual destruye la identidad de las propiedades y hace imposible cualquier mundo lógico coherente.
• El Axioma 1 (A1), por su parte, garantiza la estabilidad lógica de esa identidad: una propiedad positiva no puede perder su positividad a través de la implicación, ni siquiera en el caso mínimo de la autoimplicación. Dado que toda propiedad se implica a sí misma, negar el cierre de A1 equivaldría a permitir que una propiedad positiva pudiera dejar de ser positiva incluso consigo misma, lo que supondría negar su propia identidad.
• Así, A2 fija qué significa ser positivo o negativo, mientras que A1 asegura que esa positividad permanece estable bajo la estructura lógica de la implicación.
• Sin A2, la noción de positividad carecería de definición coherente; sin A1, esa noción sería inestable y contradictoria.

En conjunto, A1 y A2 definen el núcleo mínimo de coherencia de cualquier sistema lógico que pretenda hablar de propiedades positivas: identidad, polaridad y estabilidad. Solo sobre esta base tiene sentido afirmar que las propiedades positivas pueden coexistir sin contradicción, lo que será formalizado en el Teorema 1 (T1).

🦉Explicación a estos dos axiomas y a su conclusión:
Resumen: La lógica de Gödel como subconjunto necesario de cualquier lógica coherente.
1. Estructura mínima de propiedades (A1 y A2):

• A1 (premisa 1): toda propiedad derivada de una propiedad positiva también es positiva.
• A2 (premisa 2): toda propiedad negativa es la negación de una propiedad positiva, y viceversa.

Estas dos premisas establecen los pilares estructurales mínimos de cualquier sistema de propiedades coherente: los polos positivo/negativo.

2. Coherencia del Teorema 1 (T1):

• Teorema 1: todas las propiedades positivas son compatibles y pueden coexistir sin contradicción (premisa3).
• T1 deriva directamente de los Axiomas 1 y 2 (A1 y A2) y sólo tiene sentido gracias a ellos.
• Por tanto, cualquier sistema coherente que trate de propiedades debe respetar esta compatibilidad de lo positivo.

3. Subconjunto necesario:

• Cualquier otra lógica coherente que maneje propiedades, implicaciones o consistencia debe reconocer al menos los polos positivo/negativo y la compatibilidad de T1.
• La lógica de Gödel no impone límites a otros sistemas, sino que define un marco mínimo necesario.
• Por ello, la lógica de Gödel es un subconjunto estructural de cualquier otra lógica coherente.

4. Implicación práctica:

• Discusiones sobre propiedades neutras, multivaluadas, probabilísticas, o «colores complementarios» quedan subordinadas a la estructura mínima positivo/negativo.
• Ninguna lógica coherente puede contradecir los principios de A1, A2 y T1 sin perder consistencia.

Conclusión: la lógica de Gödel representa la base ineludible sobre la que cualquier sistema lógico coherente debe apoyarse. Si A1, A2 y T1 son válidos, son automáticamente válidos en cualquier otra lógica coherente.

Con esta base mínima de coherencia, podemos ahora establecer el Teorema 1 (T1), que formaliza la compatibilidad de todas las propiedades positivas.

4️⃣Tercera premisa (Teorema 1)

Enunciado:

Toda propiedad positiva puede ser admitida en el sistema sin que este se vuelva incoherente.

Todas las propiedades positivas son compatibles entre sí dentro del sistema.

Esto implica también que no se puede excluir de un sistema lógico coherente ninguna propiedad positiva.

P(φ)→⋄∃[φ(x)]

• Se cumple en cualquier lógica suficientemente expresiva, porque el submodelo bivalente está siempre presente.
• La compatibilidad de todas las propiedades positivas es un teorema obligatorio en el núcleo mínimo.

Analogía dimensional: Trabajar en el submodelo bivalente es como trabajar en la dimensión mínima: todo lo que se cumple aquí (T1) se mantiene en espacios lógicos más complejos (paraconsistentes, multivaluadas…).

Explicación:

Ejemplo analógico:

• Si las propiedades positivas fueran del tipo «ser cuadrado», la coherencia lógica obliga a que las otras propiedades positivas sean del tipo «no ser redondo».
• Si las propiedades positivas fueran del tipo «ser redondo», la coherencia lógica obliga a que las otras sean «no ser cuadrado».

Nota: estos ejemplos son concretos para facilitar la comprensión; en realidad, estamos tratando atributos lógicos de segundo orden, no propiedades empíricas o morales. 

Derivación de los axiomas:

• Tanto A1 como A2 se aplican a todos los mundos posibles coherentes, por lo que este teorema también se aplica necesariamente en todos los mundos posibles.
• A2 establece que una propiedad positiva no puede ser negativa, determinando qué propiedades A1 puede considerar para su cierre bajo implicación.
• En otras palabras, A2 expulsa a las propiedades negativas del dominio de A1, garantizando que A1 solo opera sobre propiedades positivas.
• Por tanto, no se pueden aceptar simultáneamente A2 y la negación de A1. Como A2 es necesario, A1 también debe aceptarse.

Consecuencia del teorema:

• El «universo de lo positivo» es autosuficiente y coherente.
• No necesita referirse a las propiedades negativas para definirse; su propia coherencia interna impide que las negativas puedan entrar.
• Si se intentara introducir una propiedad negativa, el sistema colapsaría por incoherencia.

Comentario histórico y pedagógico:

• Gödel presenta este teorema como si fuera un resultado independiente, pero en realidad es la consecuencia lógica directa de A1 y A2.
• Esto ha generado debates sobre su aparente «arbitrariedad», cuando en realidad es simplemente la derivación inevitable de los axiomas básicos.

Trivialidad: también se ha acusado a T1 de «trivialidad». Para desbaratar este argumento, sólo hace falta intentar aplicarles A1 y A2 a las propiedades negativas en lugar de las positivas, y se comprobará que T1 no tiene sentido con nada más que con las propiedades positivas.

Conclusión del bloque

• La lógica de Gödel no impone restricciones a la lógica global; define un núcleo mínimo universal de coherencia de propiedades positivas.
• Todo lo que deduce (A1, A2, T1) es universalmente posible en cualquier lógica suficientemente expresiva.
• Gödel formaliza así lo que es inevitable: un marco de compatibilidad y coherencia mínima que existe en todas las lógicas.

Crítica: llegados a este punto, incluso alguien podría argumentar: «Aceptamos que el núcleo bivalente es consistente. Aceptamos que T1 es un teorema dentro de ese núcleo. Pero, ¿por qué debemos aceptar que la "existencia" o la "omnipotencia" pertenecen a ese núcleo y no son simplemente conceptos vacíos?»

Defensa: «Eso no es una crítica a la prueba, es una limitación de tu comprensión. Si aceptas que el lenguaje puede describir la perfección, el núcleo bivalente te obliga a aceptar su consistencia. El contenido empírico lo veremos después, pero la estructura ya es inamovible».

5️⃣Cuarta premisa (Definición 1)

Enunciado formal:

G(x) ⇔ ∀φ[P(φ)→φ(x)]

Interpretación:

Un objeto x es divino si y solo si posee todas las propiedades positivas.

Explicación y observaciones:

1. Aplicación de los axiomas anteriores:

• Para poder hablar de Dios en modo formal, es necesario definir primero qué se entiende por «Dios».
• La definición de Gödel utiliza la coherencia demostrada en el Teorema 1 (premisa 3), que garantiza que todas las propiedades positivas pueden coexistir sin contradicción, y que no hay superposición con propiedades negativas.
• Esto asegura que la definición de Dios es internamente coherente.

2. Lo que se ha demostrado hasta ahora:

• No se ha demostrado la existencia de Dios, ni su necesidad.
• Lo que sí se ha mostrado es que es posible que un ser posea todas las propiedades positivas.
• La definición de Dios formaliza este ser posible, como el que acumula todas las propiedades positivas.

3. Función de las premisas anteriores:

• Las premisas 1 (A1) y 2 (A2) junto con el Teorema 1 (premisa 3) no prueban la existencia de Dios, sino que aseguran la coherencia lógica de su definición.
• Solo después de esta definición se podrá plantear formalmente la existencia y necesidad de un ser divino dentro del sistema.

Comentario adicional:

• Esta definición es puramente formal y lógica: no introduce propiedades empíricas, morales o subjetivas.
• Es la base para los siguientes pasos del teorema de Gödel, donde se demostrará la posibilidad y la necesidad modal de un ser que posee todas las propiedades positivas.

6️⃣Quinta premisa (Axioma 3)

Enunciado:

La cualidad de ser divino es positiva.

Formalmente: 

P(G),

donde G es la propiedad de poseer todas las propiedades positivas (Definición 1).

Explicación y observaciones:

1. Función del axioma:

• A3 no es un teorema, sino un axioma que asigna un nombre a una propiedad previamente demostrada como coherente por el Teorema 1 (T1).
• Esto permite referirse formalmente al «ser divino» dentro del sistema, garantizando que su definición es internamente coherente.

2. Relación con T1:

• T1 demuestra que un ser puede poseer todas las propiedades positivas sin contradicción, y que estas propiedades son válidas en todos los mundos posibles coherentes.
• A3 simplemente llama «divina» a esa propiedad de acumular todas las propiedades positivas.

3. Sobre la «necesidad» de A3:

• La propiedad «divina» es válida en todos los mundos posibles coherentes, porque T1 ya asegura que la propiedad de poseer todas las propiedades positivas es coherente en todos esos mundos.
• Esta necesidad no es modal dentro del sistema, sino lógica y definicional: es una consecuencia directa de la definición y de la coherencia establecida por los axiomas y T1.

4. Crítica y rebatimiento:

Crítica: A3 sería «metafísica sustantiva».

Rebatimiento: no es metafísica; es una estipulación terminológica. Nombrar la propiedad «divina» permite seguir trabajando formalmente con ella, sin introducir su existencia ni necesidad todavía. Es una etiqueta para un concepto cuya coherencia ya está probada.

5. Coherencia interna:

• Decir que ser divino es positivo no genera contradicción, porque T1 ya garantiza que todas las propiedades positivas pueden coexistir.
• Negar A3 sería equivalente a afirmar que la acumulación de todas las propiedades positivas es negativa, lo cual colapsaría el sistema y violaría el principio de clausura de T1.

7️⃣Sexta premisa (Teorema 2)

Enunciado:

Es posible que exista un ser divino.

Formalmente:

◊∃x G(x),

donde ◊ denota posibilidad modal y G(x) es la propiedad de ser divino (Definición 1).

Explicación y derivación:

1. Consecuencia de las premisas anteriores:

• Teorema 1 asegura que el conjunto de todas las propiedades positivas es lógicamente consistente y coherente en todos los mundos posibles.
• Definición 1 establece que «ser divino» es simplemente poseer todas las propiedades positivas.

2. Razonamiento lógico:

• Si el conjunto de propiedades positivas puede coexistir sin contradicción, entonces un ser que las posee no genera incoherencia.
• Por tanto, la existencia de un ser divino es posible, dado que nada en el sistema impide que esas propiedades se reúnan en un mismo sujeto.

3. Importancia del teorema:

• Este teorema no afirma que el ser divino exista, solo que su existencia no es imposible dentro del sistema formal.
• Sirve como base para los pasos siguientes, donde se argumentará sobre la necesidad de dicho ser divino.

8️⃣Séptima premisa (Definición 2: esencia)

Enunciado formal:

Ess(ϕ,x)  ⟺  ∀ψ [ψ(x)→□∀y (ϕ(y)→ψ(y))]

Interpretación:

Una propiedad ϕ es la esencia de un individuo x si y solo si:

1. x tiene la propiedad ϕ
2. ϕ implica necesariamente todas las propiedades que x posee.

En otras palabras, la esencia de un individuo es aquello que lo define completamente, aquello que lo hace ser él mismo.

Explicación pedagógica

1. Forma reducida:

• La esencia es una propiedad mínima que contiene todas las propiedades de un individuo.
• Es decir, si un individuo tiene ciertas propiedades, su esencia es aquella propiedad que necesariamente las implica todas.
• No es un rasgo adicional, sino una función generadora de las propiedades del individuo.

Ejemplo analógico (no real): la esencia de un individuo, Antonio, es aquella propiedad (quizás la propiedad de «ser Antonio», un haecceitas o estoidad) que necesariamente implica todas las propiedades que él tiene, como ocupar el espacio que él mismo ocupa o tener cierta altura. Si le quitaras la esencia de «ser Antonio», dejaría de ser ese individuo específico.

2. Economía simbólica:

• La fórmula □∀y(ϕ(y)→ψ(y)) se resume en «Ess(x)» para ahorrar repetición y simplificar la exposición. [Nota: Ess(x) suele usarse para denotar «existe una esencia de x», no la fórmula completa]
• Esto permite referirse a la esencia sin reescribir cada vez la implicación necesaria de propiedades.

3. Conexión lógica:

• La noción de esencia sirve como vínculo entre la posibilidad de un ser divino (T1) y su necesidad (T2).
• Si un ser posible posee todas las propiedades positivas, entonces poseer todas esas propiedades es su esencia, y todo lo que posee se sigue necesariamente de esa esencia.

4. Importancia para la demostración:

• Sin esta definición formal de esencia, no sería posible pasar de la posibilidad de un ser divino a su necesidad.
• La definición formaliza el vínculo ontológico entre «tener todas las propiedades positivas» y «existir necesariamente».

9️⃣Octava premisa (Axioma 4)

Enunciado:

Si una propiedad es positiva, entonces la propiedad de tener esa propiedad también es positiva.

Formalmente (una lectura equivalente a Gödel):

P(ϕ)→□P(ϕ)

o, en otra interpretación, autológica:

P(ϕ)→P(P(ϕ))

Ejemplo pedagógico:

Si «ser cuadrado» es una propiedad positiva, entonces la propiedad de poseer la propiedad «ser cuadrado» también es positiva.

De forma más general: la positividad se conserva y se refuerza al pasar de la propiedad al acto de poseerla.

Explicación y justificación:

1. Autología y coherencia interna: 

• A4 tiene sentido por sí mismo, sin depender exclusivamente del mundo lógico de Gödel.
• A4 refuerza el carácter autológico de la positividad, lo que es crucial para la transición a la necesidad de un ser divino.
• No puede considerarse neutral, porque A1 obliga a que las propiedades positivas permanezcan positivas en todos los contextos de implicación lógica.

2. Derivación de premisas anteriores:

• Que A4 no es aquí una arbitrariedad de Gödel se comprueba también al deducirlo del Teorema 1 y de la Definición 1 de ser divino (A3):
• T1 asegura que todas las propiedades positivas son coherentes y compatibles.
• La propiedad de poseerlas todas (ser divino) también es positiva y coherente.
• La esencia de un ser divino implica necesariamente todas las propiedades positivas, y A4 garantiza que esta implicación es coherente en todos los mundos posibles.
• Por tanto, A4 formaliza como necesario lo que T1 establece como posible.

3. Contra la crítica de metafísica:

• A4 no introduce contenido nuevo; formaliza la consistencia del sistema en términos de necesidad.
• Negar A4 implicaría admitir mundos posibles donde las propiedades positivas dejaran de ser coherentes, lo que contradice T1.

4. Importancia lógica:

• Si la propiedad de tener una propiedad positiva fuera negativa, entonces una propiedad negativa podría implicar una positiva, violando la coherencia del sistema cerrado definido en T1.
• Esto es equivalente a permitir que la falsedad genere verdad dentro de un sistema lógico consistente, lo que es imposible.

5. Interpretación modal y autológica:

• La lectura modal P(ϕ)→□P(ϕ) enfatiza que la positividad es necesaria en todos los mundos posibles coherentes.
• La lectura autológica P(ϕ)→P(P(ϕ)) muestra que poseer una propiedad positiva sigue siendo positivo, subrayando la consistencia interna del sistema.

6. Resumen:

• A4 no es una afirmación metafísica sustantiva, sino una formalización necesaria de la coherencia de T1.
• Garantiza que la positividad de las propiedades se mantiene invariante en todos los mundos posibles, asegurando la consistencia lógica del sistema y del Ser Divino.

9️⃣Novena premisa (Axioma 5)

Este axioma (A5) puede explicarse de varias formas, aquí vamos a presentar dos de ellas:

👉la definición técnica, 

👉la justificación profunda.

👉Definición técnica:

 Axioma 5 (A5): Positividad de la existencia necesaria

Enunciado formal: La existencia necesaria es una propiedad positiva.

P(E(x))

donde

E(x):=∀φ[Ess(φ,x)→□∃yφ(y)].

Es decir:

• un individuo posee existencia necesaria si toda propiedad que constituye su esencia se instancia necesariamente en algún mundo posible.

Estatuto lógico del axioma:

• A5 es un axioma clasificatorio, no existencial.
• No afirma que exista ningún individuo con existencia necesaria, ni introduce nuevas entidades en el dominio. Su función consiste exclusivamente en determinar el estatus axiológico de una propiedad ya definida dentro del sistema.

En particular, A5:

• no añade contenido empírico,
• no presupone ontología sustantiva adicional,
• no altera las reglas modales ni las definiciones previas,
• y no introduce necesidad alguna por sí mismo.

Su papel es preservar el cierre del conjunto de propiedades positivas bajo las operaciones ya admitidas en el sistema.

Función estructural dentro de la demostración

Dados:

• los axiomas que caracterizan las propiedades positivas (A1–A4),
• la definición de ser divino como posesión de todas las propiedades positivas,
• la demostración de la coherencia y posibilidad de tal conjunto de propiedades,
• A5 constituye el principio de enlace que permite pasar de la posibilidad de un individuo cuya esencia es maximalmente positiva a la conclusión de que dicha esencia no puede ser meramente contingente.

Sin A5, el sistema permanece formalmente consistente pero deductivamente incompleto: no es posible derivar necesidad a partir de posibilidad, aunque la coherencia esté garantizada.

Justificación epistemológica mínima

La noción de propiedad positiva, tal como se emplea en el sistema, está ligada a la ausencia de arbitrariedad y a la preservación de coherencia racional. En este marco:

• una propiedad que garantiza la estabilidad transmodal de una esencia,
• que impide que lo esencial dependa de fluctuaciones modales contingentes,
• y que asegura que la esencia no se vea frustrada en mundos posibles coherentes,

no puede ser clasificada como negativa sin vaciar de contenido la propia noción de positividad.

A5 no introduce un nuevo criterio de valor, sino que explicita un compromiso ya implícito en el tratamiento de las propiedades positivas como estructuralmente coherentes.

Relación con el Principio de Razón Suficiente

A5 es compatible con el Principio de Razón Suficiente y puede interpretarse como una formalización modal mínima de la exigencia de no-arbitrariedad ontológica. No obstante, el axioma no depende de la aceptación explícita del PRS como principio metafísico general.

De este modo:

• quienes aceptan el PRS encuentran en A5 una expresión natural de ese compromiso;
• quienes lo rechazan no obtienen, por ello, una refutación formal de A5;
• el sistema permanece neutral respecto a debates metafísicos externos.

Observación metodológica

Rechazar A5 no conduce a contradicción lógica, pero implica renunciar a uno de los objetivos explícitos del sistema: mostrar que, bajo ciertos supuestos modales mínimos, la noción de un ser cuya esencia es maximalmente positiva no puede permanecer en el plano de la mera posibilidad.

En este sentido, A5 no fuerza conclusiones ontológicas, sino que delimita el alcance deductivo del sistema.

Conclusión

El Axioma 5 no es una suposición metafísica ad hoc, sino una condición estructural que garantiza la coherencia y completitud del razonamiento modal. Su aceptación no introduce compromisos ontológicos adicionales, pero su rechazo impide cerrar la transición desde la posibilidad coherente hasta la necesidad modal.

👉Justificación profunda:

Axioma 5 (A5):

La existencia necesaria es una propiedad positiva.

Enunciado formal:

P(E(x)),

donde E(x)=∀φ(Ess(φ,x)→□∃y φ(y)).

Es decir: la propiedad de «ser necesariamente existente» —definida rigurosamente a partir de la noción de esencia— se considera positiva dentro del sistema.

Este axioma suele interpretarse como una simple suposición metafísica, pero en el marco de la demostración y desde la perspectiva que estamos adoptando, A5 tiene una función mucho más profunda: formaliza una intuición básica sobre la naturaleza de la lógica y de la existencia.

Pero si la reformulamos así: P(E(x)), para E(x) = ∀φ [Ess(φ,x) → □∃y φ(y)], donde la propiedad de «existencia necesaria» se considera positiva dentro del sistema, se aprecia mejor en ella este sentido: si no entiendes que la existencia de la lógica está condicionada a la existencia del universo empírico y que la existencia del universo empírico está condicionada a la existencia de la lógica, careces de pensamiento lógico o de pensamiento empírico.

1. Fundamento empírico: la raíz de la lógica

A5 es una formalización del Principio de Razón Suficiente: la existencia necesaria es una propiedad positiva es, en esencia, la aplicación del PRS a la existencia misma.

Establece que nada puede ser dado por existente dentro del sistema si no hay una razón que lo justifique. Esta idea es la misma que expresa el Principio de Razón Suficiente: nada existe «porque sí». A5 convierte ese principio filosófico en una regla formal de coherencia interna que impide introducir existencias sin fundamento.

La existencia necesaria es observable empíricamente: es necesario que uno mismo exista para que pueda observar (Descartes).

Un empirismo sin PRS no puede justificar la formalización de leyes empíricas: si las leyes no tienen razón suficiente para mantenerse, no predicen nada, y la práctica científica contradice esa negación.

El punto de partida de la lógica —igual que el de la ciencia empírica— es la observación elemental de la realidad: algo es o no es; algo está o no está. Esta distinción empírica primaria genera los conceptos más básicos de la lógica: positivo/negativo, afirmación/negación, ser/no ser.

Si la lógica nace de esta experiencia primitiva del ser, entonces la propiedad de «existencia necesaria» no es un salto metafísico, sino una proyección lógica natural de aquello que la experiencia ya enseña:

lo que existe de manera estable y no contingente tiene un valor positivo dentro de la estructura del ser.

No hay nada en la inteligencia que antes no haya estado en los sentidos (principio del empirismo).

Por eso, para quien reconoce esta raíz empírica de la lógica, A5 es evidente en lugar de controvertido.

Crítica: Si se critica este axioma afirmando que es indemostrable por cualquier método empírico, la contracrítica es que la presencia y la ausencia físicas se presentan claramente explícitas en la evidencia empírica, y que la lógica dictamina que ambas son la materialización de lo que ella misma (la lógica) demuestra que ciertamente existe. Y al negarse esto se estará negando la lógica, con lo cual coherentemente se niega también lo que de lógico hay en la ciencia empírica.

De este modo queda articulada la siguiente cadena de argumentación:

• Evidencia empírica de base: la distinción más fundamental en la experiencia empírica es la de presencia/ausencia, ser/no ser. Esto es innegable.
• La lógica lo formaliza: la lógica de Gödel formaliza esta distinción a través de sus axiomas (A1/A2 sobre positivo/negativo y existencia).
• La lógica predice la necesidad: la lógica deduce la existencia necesaria a partir de estas bases empíricas fundamentales.
• La negación es irracional: si niegas la conclusión lógica de Gödel, estás, por extensión, negando la lógica misma.
• Consecuencia final: al negar la lógica, socavas la base racional que sustenta toda la ciencia empírica.
• De este modo, la prueba de Gödel es la raíz fundamental de la racionalidad y el empirismo, y negarla es un acto de dogmatismo irracional.

2. Función lógica de A5 dentro del sistema

En el interior del sistema formal de Gödel:

• A1–A4 establecen que las propiedades positivas son consistentes.
• El Teorema 1 muestra que puede existir un ser que posea todas ellas.
• El Teorema 2 muestra que dicho ser es posible.
• A5 es el puente necesario para concluir que su existencia es necesaria.

A5 no introduce nada incompatible: opera sobre una propiedad que, dentro del sistema, debe ser positiva para que el conjunto de propiedades divinas permanezca cerrado y coherente. Sin A5 no se podría completar el razonamiento modal.

3. Consecuencias para quien acepta A5

Quien acepta A5 reconoce que:

• la lógica procede de la experiencia primaria del ser,
• la propiedad de «existencia necesaria» es coherente con esa raíz,
• y el sistema modal de Gödel es consistente en todos sus pasos.

Para esta persona, la demostración funciona simultáneamente como:

• una prueba lógica, porque es formalmente válida en todos los mundos del sistema, y
• una prueba empírica, porque se apoya en la intuición fundamental que origina tanto la lógica como la ciencia.

Este doble carácter —lógico y empírico a la vez— es inusual y notable.

4. Consecuencias para quien rechaza A5

Quien rechaza A5 por considerarlo «metafísico» se está comprometiendo sin advertirlo con una posición racionalista extrema, que niega:

• la raíz empírica de la lógica (ser/no ser),
• la conexión entre lógica y realidad,
• la base de la ciencia empírica, que también depende de esa distinción fundamental.

Al negar el único punto donde convergen lógica y experiencia, esta persona:

• queda fuera del sistema lógico de Gödel, porque no acepta uno de sus axiomas esenciales;
• queda fuera de los mundos posibles del sistema, porque A5 define su estructura;
• y se queda también sin una base empírica, porque la ciencia depende igualmente de la distinción ser/no ser que está negando.

En otras palabras: rechazar A5 implica abandonar a la vez la lógica del sistema y la lógica que subyace a la ciencia empírica.

Conclusión integrada

El Axioma 5 no es un elemento arbitrario: es la pieza que muestra que la demostración de Gödel tiene un carácter doble —lógico y empírico— porque se funda en la distinción más básica y universal de la experiencia. Quien acepta A5 permanece dentro del sistema modal completo y obtiene el teorema de existencia necesaria. Quien lo rechaza se autoexcluye tanto del sistema lógico como del marco empírico que fundamenta toda lógica y toda ciencia.

1️⃣1️⃣Décima premisa (Teorema 3)

Enunciado (forma compacta):

Si es posible que exista un ser que posea todas las propiedades positivas, entonces ese ser existe necesariamente.

◊∃x G(x) ⟹ □∃x G(x)

En lenguaje ordinario: si es posible que exista un ser que reúna todas las perfecciones, entonces ese ser no puede no existir.

▶️Demostración conceptual y dependencia de axiomas

Este teorema no introduce nuevas suposiciones: es la consecuencia formal de la estructura ya fijada por A1–A5 y por las definiciones previas. Para ver por qué, conviene recordar lo que ya tenemos:

• A1 (clausura): las propiedades positivas son cerradas bajo implicación.
• A2 (complementariedad): positivo/negativo están definidos y son mutuamente excluyentes.
• Definición 1 (G): G(x) ⇔ ∀φ [P(φ)→φ(x)]
• Definición 2 (esencia): Ess(φ,x) formaliza que φ es la propiedad que implica necesariamente todas las propiedades de x.
• A3: la propiedad «ser divino» es positiva (nominalización coherente).
• T1–T2: muestran que el conjunto P de propiedades positivas es coherente y que la existencia de un ser que las posea es posible: ◊∃x G(x).
• A4 (invariabilidad/autología): P(φ)→□P(φ) (la positividad es invariante/necesaria).
• A5: P(E) —la existencia necesaria es una propiedad positiva.

Usando estas piezas, el razonamiento es este (en palabras claras):

1. Partimos de ◊∃x G(x): existe algún mundo posible w donde hay un sujeto a con G(a).
2. Por definición de G, en ese mundo w, para toda φ con P(φ) se cumple φ(a).
3. En particular, como A5 dice P(E), y por A4 la positividad es invariante (□P), en ese mundo w la propiedad E también es positiva y por definición G(a) implica E(a).
4. Pero E(a) significa (por su definición) que toda esencia de a implica necesariamente la existencia de algo que tenga esa esencia; en particular implica □∃y φ(y) para las φ pertinentes.
5. Por tanto, en w se tiene la existencia necesaria de lo que describe E; esto, unido con la invariancia modal (y con el principio modal que hace pasar de «es posible que sea necesario» a «es necesario»), permite sacar la conclusión en la actualidad modal de que □∃x G(x).

Nota técnica importante: para convertir el paso «posible → necesario» en la forma precisa usada por Gödel suele necesitarse el sistema modal S5 (o al menos el principio S5: si algo es posible- necesario entonces es necesario), y la interpretación estándar de la invariancia modal que hemos tomado en A4.

Interpretación intuitiva y por qué no hay salto arbitrario

• No se está «añadiendo» la necesidad por capricho. Lo que se hace es aplicar la clausura de la positividad y la inclusión de la existencia necesaria entre las propiedades positivas: si algo posee todas las propiedades positivas, debe poseer también la existencia necesaria que está dentro de ese conjunto.
• La necesidad emerge de la estructura del sistema, no se empotra arbitrariamente sobre el sujeto: negarla sería romper la clausura del operador P.
• Por eso el Teorema 3 es el cierre lógico de toda la construcción: la clausura positiva, la definición de esencia y la inclusión de E en P convierten la posibilidad modal en una necesidad ontológica.

✅ Consecuencias (resumidas)

• Para quien acepta los axiomas A1–A5 y el uso de la lógica modal estándar (S5): el Teorema 3 cae como una consecuencia inevitable: la posibilidad de un ser divino se convierte en su necesidad. La prueba llega a su fin de forma deductiva.
• Para quien rechaza A5 o la invarianza de P (A4): el paso falla. Rechazarlas es rechazar la condición mínima de coherencia que hace funcionar la clausura; en tal caso se está trabajando fuera del marco lógico que la demostración exige.
• No requiere nuevos postulados más allá de A1–A5 y de la lógica modal estándar: es la clausura ontológica que resulta de las definiciones y de las propiedades del conjunto P.

1️⃣2️⃣Undécima premisa (Corolario Final):

Existe necesariamente un ser divino

Afirmación formal:

□∃x G(x)

A partir de:

Teorema 2: ◇∃x G(x) — es posible que exista un ser que posea todas las propiedades positivas.

Teorema 3: ◇∃x G(x) → □∃x G(x) — si es posible que exista, entonces existe necesariamente.

Se obtiene por modus ponens:

Conclusión:

□∃x G(x) — existe necesariamente un ser divino.

Coherencia estructural:

Este es el cierre lógico natural del sistema: no introduce axiomas nuevos ni presupuestos adicionales. El corolario surge exclusivamente de combinar los dos teoremas anteriores. Desde el punto de vista formal, es un paso casi trivial; desde el punto de vista filosófico, es decisivo, porque convierte una mera posibilidad lógica en necesidad ontológica.

Fundamento en los pasos previos:

• El Teorema 2 garantizó la consistencia de postular un ser que posea todas las propiedades positivas: nada en el sistema lo contradice; por tanto, puede existir.
• El Teorema 3 mostró que, en un sistema donde la positividad está clausurada y donde la existencia necesaria es positiva (Axioma 5), todo ser que pueda poseer todas las propiedades positivas debe existir necesariamente.
• De este modo, negar la existencia necesaria de ese ser destruiría la coherencia interna del sistema: quedaría una propiedad positiva —la existencia necesaria— sin realización, lo cual contradice su positividad.

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🅰️Conflicto en el universo de lo negativo

Si un ser posee todas las propiedades negativas y su existencia también es negativa:

• Se genera un conflicto lógico, porque la existencia negativa no puede “manifestar” coherentemente la esencia negativa.
• El conjunto de propiedades negativas deja de ser autosuficiente y coherente conceptualmente, a diferencia del universo positivo de Gödel.

Además, si intentaras introducir la existencia como propiedad positiva dentro de ese sistema:

• Habría una incoherencia interna, porque una propiedad positiva no puede coexistir con todas las propiedades negativas según la definición de A2.

🅱️Implicación

Esto demuestra que el teorema de Gödel realmente solo tiene sentido dentro del marco de propiedades positivas, y no sirve para demostrar cualquier cosa (como algunos han dicho).

• El sistema de propiedades negativas podría formalmente cerrarse bajo implicación, pero no permite definir un ser coherente que posea todas sus propiedades, ni permite incluir la existencia de manera compatible.
• Por eso, la demostración de Gödel depende esencialmente de la positividad de las propiedades y de la existencia.

En resumen: el teorema de Gödel no se puede trasladar a un sistema de propiedades negativas sin romper la coherencia conceptual y lógica que hace posible la existencia del ser perfecto.

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Conclusión integrada

El Corolario Final cierra toda la estructura:

• Si es posible un ser divino (T2),
• y toda posibilidad de este tipo implica necesidad (T3),
• entonces ese ser existe necesariamente.

Gödel no añade nada: simplemente aplica la implicación. La posibilidad lógica se transforma en necesidad ontológica por la propia arquitectura del sistema. La consistencia interna del conjunto de propiedades positivas culmina en su realización necesaria.

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Valoración personal

Personalmente, he de decir que lo que más me fascina de esta demostración es la actitud de los críticos hacia ella. Me sorprenden sus argumentos metafísicos, no lógicos ni empíricos.

Pero si los críticos creen que el argumento de Gödel es defectuoso o «solo metafísico», deberían ser capaces de construir una cadena lógica contraria que demuestre lo opuesto (la inexistencia de Dios o la invalidez del argumento).

El problema es que la mayoría de los filósofos contemporáneos no intentan construir una cadena lógica contraria. Eligen otra vía: no refutan el argumento de Gödel, sino que lo marginan. La estrategia es marginar, no refutar.

Pero evitan construir el «contrargumento lógico» porque sólo pueden reconocer que la prueba de Gödel es lógicamente válida. Por esto atacan la solidez de las premisas, no la validez de la lógica. Así que utilizan argumentos externos a la lógica formal de Gödel y también a cualquier otra ciencia, formal o empírica, para meterse en la metafísica por su propio pie:

• El argumento empírico: arguyen que no hay evidencia empírica para verificar los axiomas que consideran «metafísicos» (como A5, la existencia necesaria).
• Argumentos tipo «Carga de la Prueba/Ockham»: ignoran que están ante una demostración lógica para atribuir la «carga de la prueba» al que reconoce la validez de la demostración, y que sin evidencia empírica, la supuesta solución más simple es la no existencia o el agnosticismo.
• El argumento de Kant (La existencia no es un predicado): Un argumento filosófico (no puramente lógico) con el que tratan de socavar la base de que la «existencia necesaria» sea una propiedad que se pueda añadir al conjunto de perfecciones.

De este modo, se produce la paradoja de que los críticos defienden su «empirismo» mediante argumentos metafísicos (ni empíricos ni lógicos), mientras, indemostradamente, tachan de «metafísicos» los axiomas que este teorema defiende mediante la lógica.